Nu pot sa aduc in discutie bunul simt uman fara sa-mi amintesc de o gluma celebra. Se spune ca Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi - un savant, astronom, astrolog, matematician si scriitor persan, cunoscut in mate-matici ca fiind descoperitorul cifrei zero si considerat de unii a fi parintele algebrei - a fost intrebat ce valoare are omul in matematica. Raspunsul sau a fost unul de pomina: “Daca o-mul are bun simt si caracter = 1; daca mai este si frumos = 10; daca mai are si bani = 100; daca se mai trage dintr-un neam nobil = 1.000. Insa daca dispare simbolul bunului simt si al caracterului, adica 1, raman doar zerourile”.

Dupa dictionarul limbii romane, bunul simt n-ar fi decat o norma logica de apreciere, comuna marii majoritati a oamenilor, iar simtul practic o indemanare in rezolvarea di-feritelor chestiuni concrete. Bunul simt ar fi echivalent si cu buna intuitie. In engleza, de pilda, este folosit termenul putin mai potrivit "common sense", dar noi, romanii ii spunem "bun simt" pentru ca vrem sa alaturam acestuia si unele sem-nificatii de ordin social.

Eu cred insa ca bunul simt inseamna mult mai mult decat atat. Si nu numai eu cred asta, ci si multi altii. Iata, de pilda, ce spunea C. E. Stowe, inca de pe la mijlocul secolului al XVIX-lea: “Bunul simt inseamna talentul de a vedea lu-crurile asa cum sunt si de a face lucrurile asa cum trebuie fa-cute”. Altfel spus, avem de-a face cu o impletire armonioasa intre ceea ce intuitia ne ofera si ce putem noi returna.

Cu toate acestea, avem azi o dovada certa a faptului ca marile descoperiri in stiintele exacte au profitat din plin de asa numita sfidare a "bunului simt". Perceptii gresite au exis-tat si vor mai exista, orice poate fi pus in discutie, privit din unghiuri noi de vedere orice se poate “reinventa” si recladi de la capat, pe baze noi, care vor deveni firesti dupa ce ome-nirea le va accepta si asimila. Iar exemple in acest sens sunt multiple, istoria civilizatiei abunda.

Baza lucrarii de fata este preponderent legata de asa numita sfidare a bunului simt, strict privit dintr-un unghi de vedere al matematicii si a ceea ce a vizat dezvoltarea acesteia pe parcursul lungii sale istorii. Asadar, lucrarea nu este o ex-punere sistematica a unui sector bine definit al matematicii, nici una de popularizare a problemelor acestei stiinte.

Nu es-te, desigur, nici macar o culegere de sarade si curiozitati, chiar daca unele chestiuni incluse pot avea in vedere si aces-te aspecte. Scopul ei principal este mai degraba acela de a scoate in evidenta elementul pur matematic, ca instrument care ne influenteaza rationamentul in mod obisnuit.

Prin continut, cartea include multe lucruri serioase, a-nume acele componente ale matematicii care, dincolo de simplitatea sau complexitatea lor, deseori ridica mari proble-me de abordare, de rezolvare, de utilizare inalta a capacitati-lor mentale umane. Dar chiar si in acest context care ar putea parea putin mai grav, majoritatea problemelor prezentate in lucrare aduc in fata lucruri necunoscute si fascinante.
Pentru a intelege lucrarea nu sunt necesare cunostinte de matematici superioare. Este adevarat, insa, exista si unele pasaje mai grele, pe care insa cititorul le poate totusi asimila ca pe niste noutati in domeniu, sau le poate ocoli. Veti obser-va insa, pur si simplu, ca matematica este una universala, nu se rezuma doar la notiunile care se predau prin scoli, nu se sfieste sa abordeze cu curaj orice domeniu, nimic nu-i este strain si pretutindeni este folositoare.

Lucrarea se adreseaza deopotriva elevilor, parintilor si profesorilor. Ea este o expunere a matematicii ce trebuie luata in serios chiar daca multe dintre subiecte se anunta a fi distractive si unele chiar sunt prezentate sub aceasta masca pentru a le surprinde mai usor simplitatea. De pilda, parintii ar putea gasi in lucrare unele idei si posibilitati de a petrece clipe placute impreuna cu copiii lor, carora le-ar putea insu-fla gustul pentru matematica, eventual acordandu-le o oare-care asistenta uneori necesara.

Cartea cuprinde numeroase probleme din matematica, alese din experienta mea de matematician, de autor, sau cu-lese si uneori adaptate la nivelul unor minime cunostinte ale matematicii de gimnaziu si in unele cazuri de liceu. La multe dintre acestea, nu neaparat cunostintele de matematica sunt necesare, cat mai ales aptitudinile, perspicacitatea si inteli-genta fac diferenta.

Printre obiectivele importante ale lucrarii le-am avut in vedere si pe acelea de a amuza, de a uimi, de a vraji, de a atrage ca un magnet atentia cititorului prin farmecul deosebit al problemelor alese. Cartea poate fi totodata si o calauza pentru rezolvari de probleme, de la cele mai simple pana la cele care pot da prilejul de cautari mai ample si indelungate. Acasa, la scoala, dar si cu prilejul unor excursii ori intalniri in grupuri de amici, in vacante etc., cartea aceasta ar putea oferi satisfactii imediate, fiind si o excelenta calauza pentru petreceri amuzante si instructive in timpul liber.

Cele mai multe intrebari din lucrare, care sunt de fapt exercitii si probleme din categoria jocurilor matematice au fost scrise sau culese si adaptate pentru a pune la incercare logica gandirii in spiritul matematicii, si nu de a face calcule complicate.
Un capitol special, intitulat sugestiv “Probleme care sfideaza bunul simt” este dedicat unor probleme matematice din categoria celor de logica si perspicacitate, o parte din ele putand da multa bataie de cap in abordare si rezolvare, fiind-ca aici veti avea o scurta intalnire cu matematica la modul distractiv, dar deloc facil. De cele mai multe ori elementele de matematica invatate in primele clase de gimnaziu sunt mai mult decat suficiente pentru a rezolva cu deplin succes unele probleme care vi s-au propus in acest capitol, pentru a va descurca prin “cursele” care va sunt intinse.

Dar veti da si peste probleme care sfideaza pur si simplu bunul simt... ma-tematic, care par, la prima vedere, ca nu au suficiente date spre a putea fi rezolvate etc. Haina cu care sunt imbracate acestea este deseori una poetica, amuzanta, atractiva. Cele imbracate in altfel de haine nu reprezinta, de fapt, decat o in-vitatie la o "gimnastica" spirituala pe taramul plin de satis-factii al matematicii recreative.

Jocurile si trucurile matematice, pe langa placerea de a le descifra si asimila, ofera si posibilitatea de a fi puse in practica, in familie, cu prietenii, in vacante, ca pe niste jocuri de societate care se bucura totdeauna de mare succes. Cele expuse in volum nu depind de un concurs de imprejurari fa-vorabile, nici de conditíi speciale pentru a fi experimentate, ci doar de propria ingeniozitate si de cateva calcule preala-bile. Daca stii sa faci bine calculul ce sta la baza jocului res-pectiv, poti sa detii “secretul” acestuia, ceea ce iti va asigura gloria in fata celorlalti participanti care inca nu au deslusit baza matematica a acestora.

Totodata, jocurile de acest fel, pe langa faptul ca ofera satisfactie si distractie, au si potenta unor veritabile probleme. In acelasi timp, ele ajuta mintea sa se dezvolte prin cooperare si competitie, prin explorare si inovare, ne incurajeaza sa elaboram strategii castigatoare, in-diferent de conditia umana sau sociala si indiferent de aspira-tiile noastre. Mesajul lor este unul clar: necesita jucatori care doresc sa castige, dar stiu ca s-ar putea sa nu poata. Jucand jocuri in care ne este antrenata curiozitatea, ne simtim mai vii ca oricand.

Trucurile aritmetice consta adesea din „ghicirea” nu-merelor alese in minte sau a rezultatelor operatiilor cu aceste numere. “Secretul” lor consta in faptul ca “ghicitorul” cu-noaste si stie sa foloseasca unele proprietati ale numerelor pe care cel care le alege nu le stie. Interesul matematic al ori-carui truc consta in “demascarea” bazelor lui teoretice care, in majoritatea cazurilor sunt cat se poate de simple, dar as-cunse in mod ingenios.

Pentru verificarea eficientei trucuri-lor putem folosi orice exemple, dar pentru fundamentarea majoritatii lor este mai bine sa apelam la algebra. La inceput veti putea omite “demonstrarea” trucurilor, limitandu-va la cunoasterea regulilor lor, pentru a va uimi prietenii. Dar veti descoperi ca nici demonstratiile nu sunt lipsite de interes pentru cei carora le place sa gandeasca si cunosc bazele ele-mentare ale algebrei. Executarea lor in practica difera in functie de conditiile existente si de mediul in care se petrec, dar si de gustul, ingeniozitatea si fantezia fiecaruia.

Intr-un capitol special mi-am propus sa prezint cateva dintre cele mai fascinante iluzii optice, majoritatea avand la baza efectele perceptiilor false ale unor constructii geome-trice. Dupa cum se stie, iluziile optice apar datorita tendintei creierului nostru de a vedea lucrurile asa cum ar trebui ele sa fie in baza experientei noastre anterioare, in loc de cum sunt ele.

Putem astfel fi “manipulati” sa percepem lucrurile ca fi-ind mai mari decat in realitate, sa “observam” adancimi intr-o suprafata plana, sa “vedem” culori intr-o imagine mono-cromatica sau sa “simtim” miscarea intr-o imagine statica. Si in cazul acestora se manifesta o limita a increderii in simtu-rile noastre si niciun fel de exercitii nu le pot face suficient de bune pentru unele sarcini speciale. Tendinta omului de a fi inselat de propriile sale perceptii a fost o sursa inepuizabila pentru creatorii de iluzii optice. Capitolul acesta pune cu pri-sosinta in lumina astfel de “sfidari” ale simturilor noastre.
O parte speciala a cartii a fost consacrata rezolvarilor si raspunsurilor la probleme. De ce separat? Pentru simplul motiv ca ar fi de dorit ca cititorul sa foloseasca acest capitol doar pentru confruntarea cu rezultatele proprii.

Desi am dorit-o mult, nu stiu cat am reusit ca aceasta colectie de "probleme" sa se constituie intr-un auxiliar al e-ducatiei matematice pentru o categorie cat mai larga de citi-tori. De aceea, repet si aici un indemn prin cuvintele pline de semnificatie ale lui Oscar Wilde: "Cel mai bun mijloc de a scapa de o tentatie este de a obtine satisfactia ei".

Am pornit de la o idee bine verificata in practica, anu-me aceea ca oamenilor le place sa rezolve probleme (care, daca sunt bine alcatuite, nu au decat o singura solutie) si sa joace jocuri (care pot avea mai multe finaluri). Granita dintre probleme si jocuri nu a fost niciodata bine definita. Cand sunt intelese pe de-a-ntregul, jocurile simple, bine concepute, seamana foarte mult cu problemele.

Daca satisfactia cititorului va fi atinsa la cotele pe ca-re le-am vizat, pot spera ca mi-am atins scopul in numele ca-ruia v-am invitat sa lecturati aceasta carte, sa luati cunostinta si sa puneti in practica unele dintre cele mai uimitoare lucruri legate de matematica.

(Petre Rau)

Editura: Inforapart

Autor: Petre Rau